已知圆C：x2+y2-4x-14y+45=0．（1）若M是圆C上任意一点，点Q（-2，3），求|MQ|的最大值与最小值．（2）求μ=x-2y的最大值与最小值．（3）求ν=y−3x+2的最大值．

Question

已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0．
（1）若M是圆C上任意一点，点Q（-2，3），求|MQ|的最大值与最小值．
（2）求μ=x-2y的最大值与最小值．
（3）求ν=(y−3)/(x+2)的最大值．

Answer 1

（1）将圆C：x²+y²-4x-14y+45=0可化为
（x-2）²+（y-7）²=8，
则圆心C（2，7），半径r＝2√(2)，
又∵Q（-2，3），
∴|QC|=4√(2)，
∴点Q在圆外，
则由|QC|−2√(2)≤|MQ|≤|QC|+2√(2)得，
|MQ|max＝6√(2)，|MQ|min＝2√(2)．
（2）∵直线u=x-2y与圆C有公共点，
∴(|2−2×7−μ|)/(√(12+22))≤2√(2)，
∴−2√(10)−12≤μ≤2√(10)−12．
∴μ=x-2y的最大值为2√(10)-12，最小值为-2√(10)-12．
（3）ν=(y−3)/(x+2)的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（-2，3）连线的斜率，
则当直线y-νx-2ν-3=0与圆C相切时ν取的最值，
则(|7−2ν−2ν−3|)/(√(1+ν2))=2√(2)，
解得ν=2-√(3)或2+√(3)，
则Vmax＝2+√(3)．