计算对曲面∑积分I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS其中∑是锥面z^2=x^2+y^2在-1≤z≤0的部分,cosa,cosb,cosr是∑上任一点（x,y,z)的法向量的方向余弦切cosr

Question

计算对曲面∑积分 I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS 其中∑是锥面 z^2=x^2+y^2在-1≤ z ≤0的部分,cosa,cosb,cosr是∑上任一点（x,y,z)的法向量的方向余弦切cosr

Answer 1

这个题目这样解,
根据单位法向量n和曲面微元的关系,nds=(cosα,cosβ,cosγ)ds=(dydz, dzdx, dxdy)
所以cosαds=dydz,cosβds=dzdx,cosγds=dxdy
所以原积分=∫∫∑ x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy
然后补上z=-1的下平面处的圆∑1x^2+y^2=1得到,就可以用高斯定理了
所以,
原积分=∫∫∑+∑1 x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy -∫∫∑1 x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy
=∫∫∫3(x^2+y^2+z^2)dV -∫∫[-(-1)]dxdy
=3∫∫∫(r^2+z^2)rdrdθdz -π
=9π/10-π
= -π/10
如果那个9π/10是个负的,那么就是-19π/10
可是这是不可能的,因为积分函数x^2+y^2+z^2是个正数,所以积分不可能是负值.
这个答案有点问题吧