方程x^4+ax+b=0,当a,b满足何关系时,方程有唯一实根?

Question

方程x^4+ax+b=0,当a,b满足何关系时,方程有唯一实根?

Answer 1

答：
设f(x)=x^4+ax+b
求导：f'(x)=4x³+a
令f'(x)=4x³+a=0
x=(-a/4)^(1/3)
当x0,f(x)是增函数.
所以：当x=(-a/4)^(1/3)时,f(x)取得最小值.
方程仅有一个实数根,则表示f(x)仅有一个零点.
所以：f(x)取得最小值为0
所以：f [ (-a/4)^(1/3) ] = [ (-a/4)^(1/3) ]^4+a*[ (-a/4)^(1/3) ]+b=0
解得：b=(3/8)*(2a^4)^(1/3)=(3a/8)*(2a)^(1/3)