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已知f(x)的一个原函数为ln(1+x^2),求∫xf'(2x)dx及∫xf''(x)dx.
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已知f(x)的一个原函数为ln(1+x^2),求∫xf'(2x)dx及∫xf''(x)dx.
▼优质解答
答案和解析
因为f(x)的原函数为ln(1+x^2)
设 F（x）=ln(1+x^2)
F'(x)=f(x)=2x/(1+x^2）
∫xf'(2x)dx=xf(2x)/2-∫f(x)dx
=xf(2x)/2-F(x)
=2x^2/(4x^2+1)
∫xf''(x)dx=xf'(x)-∫f'(x)dx
=xf'(x)-f(x)
=(2-2x^2)x/(x^2+1)^2-2x/(1+x^2)
设 F（x）=ln(1+x^2)
F'(x)=f(x)=2x/(1+x^2）
∫xf'(2x)dx=xf(2x)/2-∫f(x)dx
=xf(2x)/2-F(x)
=2x^2/(4x^2+1)
∫xf''(x)dx=xf'(x)-∫f'(x)dx
=xf'(x)-f(x)
=(2-2x^2)x/(x^2+1)^2-2x/(1+x^2)
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