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将函数（1）,f(x)=x/(2+x-x^2)展开为x的幂级数（2）,写出展开式的收敛半径
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将函数（1）,f(x)=x/(2+x-x^2)展开为x的幂级数
（2）,写出展开式的收敛半径
（2）,写出展开式的收敛半径
▼优质解答
答案和解析
分解因式
3/(2+x-x^2)=3/(1+x)(2-x)=1/(1+x)+1/(2-x)
1/(1+x)=(n=0到∞)∑(-x)^n
1/(2-x)=(1/2)/[1-(x/2)]=1/2(n=0到∞)∑(x/2)^n=(n=0到∞)∑1/2^(n+1)*x^n
故3/(2+x-x^2)=(n=0到∞)∑[1/2^(n+1)+(-1)^n]x^n
②收敛半径为1
(n到∞)∑|[1/2^(n+2)+(-1)^(n+1)]/[1/2^(n+1)+(-1)^n]|
=(n到∞)∑|(-1)^(n+1)/(-1)^n|＝1
3/(2+x-x^2)=3/(1+x)(2-x)=1/(1+x)+1/(2-x)
1/(1+x)=(n=0到∞)∑(-x)^n
1/(2-x)=(1/2)/[1-(x/2)]=1/2(n=0到∞)∑(x/2)^n=(n=0到∞)∑1/2^(n+1)*x^n
故3/(2+x-x^2)=(n=0到∞)∑[1/2^(n+1)+(-1)^n]x^n
②收敛半径为1
(n到∞)∑|[1/2^(n+2)+(-1)^(n+1)]/[1/2^(n+1)+(-1)^n]|
=(n到∞)∑|(-1)^(n+1)/(-1)^n|＝1
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