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∫x^2/(1+x^2)^2dx
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∫x^2/(1+x^2)^2dx
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答案和解析
原式= ∫1/(1+x^2)dx - ∫1/(1+x^2)^2dx
=arctanx - ∫1/(1+x^2)^2dx
令I= ∫1/(1+x^2)^2dx 用换元法,令x=tant,则t=arctanx
I= ∫(cost)^4d(tant) = ∫(cost)^2dt = ∫(1+cos2t)/2dt =t/2+(sin2t)/4 + C (C是常数)
将t=arctanx代入I中,得：
原式=arctanx - arctanx/2 - sin(2arctanx)/4 + C
=arctanx/2 - sin(2arctanx)/4 +C (C是常数)
=arctanx - ∫1/(1+x^2)^2dx
令I= ∫1/(1+x^2)^2dx 用换元法,令x=tant,则t=arctanx
I= ∫(cost)^4d(tant) = ∫(cost)^2dt = ∫(1+cos2t)/2dt =t/2+(sin2t)/4 + C (C是常数)
将t=arctanx代入I中,得：
原式=arctanx - arctanx/2 - sin(2arctanx)/4 + C
=arctanx/2 - sin(2arctanx)/4 +C (C是常数)
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