∫(1+x)^2/√xdx∫=1+2x+x^2/x^1/2dx∫=(1/x^1/2+2x/x^1/2+x^2/x^1/2)dx∫=(x^-1/2+2x^1/2+x^3/2))dx这里第2步是如何变成第3步的为啥和公式∫x^adx=1/(a+1)*x^a+1+c(a不等于-1)不一样

Question

∫(1+x)^2/√x dx
∫ =1+2x+x^2/x^1/2dx
∫ =(1/x^1/2+2x/x^1/2+x^2/x^1/2)dx
∫ =(x^-1/2+2x^1/2+x^3/2))dx
这里第2步是如何变成第3步的 为啥和公式∫x^adx=1/(a+1)*x^a+1+c(a不等于-1)不一样

Answer 1

∫ (1 + x)²/√x dx
= ∫ (1 + 2x + x²)/√x dx
= ∫ [1/√x + 2x/√x + x²/√x] dx
= ∫ [x^(- 1/2) + 2x^(1/2) + x^(3/2)] dx
第二步到第三步还有积分号,都还未求积分.最后一步才用这个公式
= x^(- 1/2 + 1)/(- 1/2 + 1) + 2x^(1/2 + 1)/(1/2 + 1) + x^(3/2 + 1)/(3/2 + 1) + C
= 2√x + (4/3)x^(3/2) + (2/5)x^(5/2) + C