已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换[xyz]=P[ξηζ]化为椭圆柱面方程η2+4ξ2=4，求a，b的值和正交矩阵P．

Question

已知二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换[

x

y

z

]=P[

ξ

η

ζ

]化为椭圆柱面方程η²+4ξ²=4，求a，b的值和正交矩阵P．

Answer 1

由已知条件可得，
矩阵A=

1	b	1
b	a	1
1	1	1

 与矩阵B=

4
	1
		0

 相似，
于是有：

.

λE−A

.

＝

.

λE−B

.

，
即：

.

λ−1	−b	−1
−b	λ−a	−1
−1	−1	λ−1

作业帮用户 2016-11-21 举报

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问题解析

由已知条件，二次曲面方程x²+ay²+z²+2bxy+2xz+2yz=4所对应的矩阵A=

1	b	1
b	a	1
1	1	1

 与椭圆柱面方程η²+4ξ²=4所对应的矩阵B=

4
	1
		0

 相似，从而A与B具有相同的特征值，进而可以确定a，b的值；求解A的所有特征值与特征向量，进而求出正交矩阵P．

名师点评

本题考点：

用正交变换法化二次型为标准形；正交矩阵的性质．

考点点评：

在确定a，b的值时，可以根据关系式A的对角线元素之和=特征值之和，得到1+a+1=4+1，从而可得a=3；又因为

.

λE−B

.

＝

.

λE−A

.

，即

.

λ−4
	λ−1
		λ

.

=

.

λ−1	−b	−1
−b	λ−3	−1
−1	−1	λ−1

.

，将λ=1代入可得，0=

.

0	−b	−1
−b	−2	−1
−1	−1	0

.

=

.

0	0	−1
−b	−2+b	−1
−1	−1	0

.

=(−1)×

.

−b	−2+b
−1	−1

.

=-（2b-2），从而可得b=1．

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