已知A为三阶实对称矩阵,秩r(A)=2,a1=(0,1,0)T,a2=(-1,0,1)T,是A对应的特征值入1=入2=3的特征向量,试求：（1）A的另一个特征值入3和其特征向量a3(2)矩阵A,矩阵A的n次方可能过程会写的有点烦,麻烦大

Question

已知A为三阶实对称矩阵,秩r(A)=2,a1=(0,1,0)T ,a2=(-1,0,1)T,是A对应的特征值入1=入2=3的特征向量,试求：
（1）A的另一个特征值入3和其特征向量 a3
(2)矩阵A,矩阵A的n次方
可能过程会写的有点烦,麻烦大虾耐心些 帮帮小弟啊 呵呵

Answer 1

由r(A)=2知,|A|=0,所以0是A的特征值.
由定理：实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的,可知,a3与a1正交,且与a2正交,解得a3=(1,0,1)T.
至此,A的全部特征值与全部特征向量已求得,所以可由A=P×diag(3,3,0)×P^(-1),其中矩阵P的第一列是a1,第二列是a2,第三列是a3..P^(-1)的P的逆矩阵.
求得A的第一行是（3/2,0,-3/2）,第二行是（0,3,0）,第三行是（-3/2,0,3/2）
A的n次方等于P×D×P^(-1),其中D=diag（3^n,3^n,0）,3^n表示3的n次方.
剩下的自己算吧,不算繁.
不理解的可以提出来.