分别以RT三角形XYZ的三边向外作正方形AXZF,BCYX,DEZY.若直角边YZ=1,XZ=2,求六边开ABCDEF的面积.答案为14,提示:以下三角形的面积相等,ABX,CDY,ZFE,XYZ

Question

分别以RT三角形XYZ的三边向外作正方形AXZF,BCYX,DEZY.若直角边YZ=1,XZ=2,求六边开ABCDEF的面积.
答案为14,提示:以下三角形的面积相等,ABX,CDY,ZFE,XYZ

Answer 1

以△ABX为例证明如下.
过B作BH垂直于ZX的延长线于H,ZX的延长线交AB于P,
对于rt△XBH和rt△XYZ,∵∠BXH=180°-∠BXZ=90°-∠YXZ=∠XYZ,又XB=XY,
∴△XBH≌△XYZ,它们的面积相等,还有BH=XZ=AX；
对于rt△PBH和rt△PAX有一组锐角为对顶角及已证BH=AX,
∴△PBH≌△PAX,它们的面积相等,因而△XBH与△ABX面积相等,
联前所述,得△ABX与△XYZ面积相等.
同理可证△CDY与△XYZ面积相等,至于△AEZ与△ZYZ就更简单了,不证.