如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF，若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，则GF的长为．

Question

如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF，若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，则GF的长为___．

Answer 1

延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，
∵AB∥DM，
∴∠M=∠BAE，∠CEM=∠DAM，
而∠BAE=∠DAM，
∴∠M=∠CEM=∠DAM，
∴CE=CM，DM=AD=7，
∵∠M+∠MFE=90°=∠CEM+∠CEF，
∴∠MFE=∠CEF，
∴CF=CE=CM=(1)/(2)FM=(1)/(2)（MD-DF）=2，
∴AB=DC=DF+CF=5，BE=BC-CE=5，
设EH=x，由(AH)/(EH)=tan∠AEB=3，
可得：AH=3x，在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²，
故5²=（3x）²+（5-x）²，
解得：x=1，
则EH=1，AH=3，
故CH=CE+EH=3，
则AC=√(AH2+CH2)=3√(2)，
而四边形ACFG是平行四边形，
故FG=AC=3√(2)．
故答案为：3√(2)．