设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：Ax=0和（Ⅱ）xTAx=0，必有（）A．（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的B．（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但

Question

设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：Ax=0和（Ⅱ）x^TAx=0，必有（　　）

A．（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的
B．（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（I）的解不是（Ⅱ）的
C．（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
D．（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解

Answer 1

设x是Ax=0的解，则显然A^T为Ax=0的解，即（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解；
反过来，设x为x^TAx=0的解，即A^T为Ax=0，的解，则有
x^TA^TAx=（Ax）^T（Ax）=0，
从而可以退出Ax=0
因为若设Ax＝(a1，a2…an)T，则(Ax)T(Ax)＝a12+a22+…+an2＝0，
于是有a₁=a₂=…=a_n=0，
即Ax=0，说明（Ⅱ）的解也是（Ⅰ）的解，
故选：A．