设二次型xTAx=ax12+2x22-x32+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B=101000101．（Ⅰ）用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所作的正交变换．（Ⅱ）判断矩阵A与B是否合同．

Question

设二次型x^TAx=ax₁²+2x₂²-x₃²+8x₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=0，其中B=

1	0	1
0	0	0
1	0	1

．
（Ⅰ）用正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所作的正交变换．
（Ⅱ）判断矩阵A与B是否合同．

Answer 1

（I）由AB=0知λ=0是矩阵A的特征值，且矩阵B的列向量（1，0，1）^T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．
故：

a	4	b
4	2	c
b	c	−1

1

0

1

＝0

1

0

1

，
于是

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问题解析

（1）由已知条件，B的列向量为Ax=0的解，从而可以确定a、b、c的值，求解A的所有特征值与特征向量，可得二次型的标准形与所作的正交变换；（2）为判断A与B是否合同，首先判断其惯性指数是否相同．

名师点评

本题考点：

用正交变换法化二次型为标准形．

考点点评：

本题综合考查了利用正交变换将二次型转化为标准形的方法以及矩阵是否合同的判断方法．如果两个矩阵合同，则具有相同的惯性指数；反过来说，如果两个矩阵的惯性指数不同，则两个矩阵必为不合同的．

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