已知a，b∈R，且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．12e3B．22e3C．32e3D．e3

Question

已知a，b∈R，且e^x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（　　）

A．(1)/(2)e³
B．(√(2))/(2)e³
C．(√(3))/(2)e³
D．e³

Answer 1

若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e^x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．
若a=0，则ab=0．
若a＞0，由e^x+1≥ax+b得b≤e^x+1-ax，则ab≤ae^x+1-a²x．
设函数f（x）=ae^x+1-a²x，
∴f′（x）=ae^x+1-a²=a（e^x+1-a），令f′（x）=0得e^x+1-a=0，解得x=lna-1，
∵x＜lna-1时，x+1＜lna，则e^x+1＜a，则e^x+1-a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；
同理，x＞lna-1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；
∴当x=lna-1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna-1）=2a²-a²lna．
设g（a）=2a²-a²lna（a＞0），
g′（a）=a（3-2lna）（a＞0），
由g′（a）=0得a=e(3)/(2)，
不难得到a＜e(3)/(2)时，g′（a）＞0；a＞e(3)/(2)时，g′（a）＜0；
∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为g(e(3)/(2))＝(1)/(2)e3，
即ab的最大值是(1)/(2)e3，此时a＝e(3)/(2)，b＝(1)/(2)e(3)/(2)．
故选：A．