设e＜a＜b＜e2，证明ln2b-ln2a＞4e2（b-a）．

Question

设e＜a＜b＜e²，证明ln²b-ln²a＞(4)/(e2)（b-a）．

Answer 1

证明：令f（x）=ln²x；
对函数ln²x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得：
ln²b-ln²a=f'（ξ）（b-a）=（ln²ξ）（b-a）=(2lnξ)/(ξ)（b-a），ξ∈（a，b）；
设ϕ(t)＝(lnt)/(t)，则ϕ′(t)＝(1−lnt)/(t2)，t∈（a，b）
当t＞a＞e时，lnt＞1；
因此：ϕ'（t）＜0，
所以ϕ（t）单调减少，从而ϕ（ξ）＞ϕ（e²），
即：(lnξ)/(ξ)＞(lne2)/(e2)＝(2)/(e2)，
故 ln2b−ln2a＞(4)/(e2)(b−a)．
命题得证．