（2010•黄浦区一模）已知a、b∈R，向量e1=（x，1），e2=（-1，b-x），函数f（x）=a-1e1e2是偶函数．（1）求b的值；（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上

Question

（2010•黄浦区一模）已知a、b∈R，向量

e1

=（x，1），

e2

=（-1，b-x），函数f（x）=a-(1)/(e1e2)是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

解（1）由已知可得，f(x)＝a−(1)/(|2x−b|)，且函数的定义域为D=(−∞，(b)/(2))∪((b)/(2)，+∞)．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D有f（x）=f（-x）
因此所求实数b=0．
（2）由（1）可知，f(x)＝a−(1)/(|2x|)（D=（-∞，0）∪（0，+∞）．
考察函数f(x)＝a−(1)/(|2x|)的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．
f（x）在区间（-∞，0）上减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有

a−(1)/(2m)＝m

a−(1)/(2n)＝n

，即方程x＝a−(1)/(2x)，也就是2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此

2a＞0

△＝4a2−8＞0

，解得a＞√(2)．
②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有

作业帮用户 2016-11-19 举报

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问题解析

（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（-x）恒成立，求出b的值．
（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．

名师点评

本题考点：

函数的值域；偶函数；平面向量的综合题．

考点点评：

解决函数的奇偶性问题常利用奇函数、偶函数的定义得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．

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