一对共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则e1+e2的最小值为（）A.2B.2C.22D.4

Question

一对共轭双曲线的离心率分别为e₁和e₂，则e₁+e₂的最小值为（　　）
A. √(2)
B. 2
C. 2√(2)
D. 4

Answer 1

双曲线 (x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1的离心率e₁，双曲线 (y2)/(b2)-(x2)/(a2)=1的离心率为e₂，
∵e1=(c)/(a)，e2=(c)/(b)，∴e1+e2=(c)/(a)+(c)/(b)=(c(a+b))/(ab)，
∵c²=a²+b²，ab≤((a+b)/(2))2，∴e1+e2=(c(a+b))/(ab)≥(c(a+b))/(((a+b)2)/(4))=(4c)/(a+b)．
∵((4c)/(a+b))2=(16(a2+b2))/(a2+b2+2ab)≥(16(a2+b2))/(2(a2+b2))=8，∴e₁+e₂的最小值为 √(8)=2√(2)．
故选C．