已知函数f（x）=1x．（1）若f(a)•(e−1)＝∫e1f(x)dx，求a的值；（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t−1)＝∫t1f(x)dx成立？并给予证明；（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．

Question

已知函数f（x）=(1)/(x)．
（1）若f(a)•(e−1)＝

∫

e 1

f(x)dx，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得f(a)•(t−1)＝

∫

t 1

f(x)dx成立？并给予证明；
（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义．

Answer 1

（1）∵f(a)•(e−1)＝

∫

e 1

f(x)dx，∴(1)/(a)•(e−1)＝

∫

e 1

(1)/(x)dx＝lnx

|

e 1

＝，1∴a＝e−1…（3分）
（2）

∫

t 1

f(x)dx＝

∫

t 1

(1)/(x)dx＝lnx

|

t 1

＝lnt
设(1)/(a)•(t−1)＝lnt，∴a＝(t−1)/(lnt)…（5分）
下面证明a∈[1，t]：a−1＝(t−1)/(lnt)−1＝(t−1−lnt)/(lnt)
设g（t）=t-1-lnt（t＞1）则g′(t)＝1−(1)/(t)＝(t−1)/(t)＞0(∵t＞1)
∴g（t）在（1，+∞）上为增函数，当t＞1时，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）
a−t＝(t−1)/(lnt)−t＝(t−1−tlnt)/(lnt)
设h（t）=t-1-tlnt（t＞1）则h′(t)＝1−(1•lnt+t•(1)/(t))＝−lnt＜0(∵t＞1)
∴h（t）在（1，+∞）上为减函数，当t＞1时h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1时lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
综上：当t＞1时，存在a∈[1，t]使得f(a)•(t−1)＝

∫

t 1

f(x)dx成立．…（11分）
（3）连续函数f（x）在闭区间[a，b]上的定积分等于该区间上某个点x₀的函数值f（x₀）与该区间长度的积，即

∫

b a

f(x)dx＝f(x0)•(b−a)其中x₀∈[a，b]…（14分）