已知向量e1e2e3是空间的一个单位正交向量,设向量a=e1+e2,b=e1-e2,c=e3.证明向量abc是空间的一个基底

Question

已知向量e1e2e3是空间的一个单位正交向量,设向量a=e1+e2,b=e1-e2,c=e3.证明向量abc是空间的一个基底

Answer 1

只需证明a=e1+e2,b=e1-e2,c=e3线性无关.
设有数k1,k2,k3使k1*a+k2*b+k3*c=0.
则k1*(e1+e2)+k2*(e1-e2)+k3*e3=0.
(k1+k2)*e1+(k1-k2)*e2+k3*e3=0.（1）
已知向量e1,e2,e3是空间的一个单位正交向量,故e1,e2,e3线性无关,且空间的维数=3.
故（1）成立,当且仅当
k1+k2=0,k1-k2=0,k3=0
解得k1=k2=k3=0.
故向量组a=e1+e2,b=e1-e2,c=e3线性无关.
由于向量组a=e1+e2,b=e1-e2,c=e3中有3个向量,
所以向量组a,b,c是空间的一个基底