已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤(a2+b2)(c2+d2)．

Question

已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤√((a2+b2)(c2+d2))．

Answer 1

（本小题满分10分）
证明：法一：（分析法）
a，b，c，d∈（0，+∞），欲证ac+bd≤√((a2+b2)(c2+d2))，只需证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），
即证a²c²+2abcd+b²d²≤a²c²+b²d²+a²d²+b²c²，即证2abcd≤a²d²+b²c²，
即证0≤（bc-ad）²，而a，b，c，d∈（0，+∞），0≤（bc-ad）²显然成立，
故原不等式成立．
法二：（综合法）（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²≥a²c²+b²d²+2abcd
=（ac+bd）²，所以√((a2+b2)(c2+d2))≥ac+bd．