在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosφy=sinφ（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，π2），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角

Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosφ

y=sinφ

（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心为（3，(π)/(2)），半径为1的圆．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M为曲线C₁上的点，N为曲线C₂上的点，求|MN|的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）消去参数φ可得C₁的直角坐标方程为(x2)/(4)+y²=1，
∵曲线C₂是圆心为（3，(π)/(2)），半径为1的圆
曲线C₂的圆心的直角坐标为（0，3），
∴C₂的直角坐标方程为x²+（y-3）²=1；
（Ⅱ）设M（2cosφ，sinφ），则|MC₂|=√((2cosφ)2+(sinφ-3)2)
=√(4cos2φ+sin2φ-6sinφ+9)=√(-3sin2φ-6sinφ+13)
=√(-3(sinφ+1)2+16)，
∴-1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC₂|≤4，
由题意结合图象可得|MN|的最小值为2-1=1，最大值为4+1=5，
∴|MN|的取值范围为[1，5]