若数列{an}满足an+T=an，其中T为正整数，则称数列{an}为周期数列，其中T为数列{an}的周期．（I）设{bn}是周期为7的数列，其中b1，b2，…，b7是等差数列，且b2=3，b3=9，求b2012；（II）设{cn}是周期

Question

若数列{a_n}满足a_n+T=a_n，其中T为正整数，则称数列{a_n}为周期数列，其中T为数列{a_n}的周期．
（I）设{b_n}是周期为7的数列，其中b₁，b₂，…，b₇是等差数列，且b₂=3，b₃=9，求b₂₀₁₂；
（II）设{c_n}是周期为7的数列，其中c₁，c₂，…，c₇是等比数列，且c₁=1，c₁₁=8，对（I）中的数列{b_n}，记S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，若S_n＞2011，求n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵b₂=3，b₅=9，∴d=(b5−b2)/(5−2)＝2，
∴b_n=b₂+（n-2）×2=2n-1（n≤7），
∴b₂₀₁₂=b_287×7+3=b₃=5．
（Ⅱ）∵c₁=1，c₄=8，∴q³=(c4)/(c1)＝8，q=2，
当n≤7时，S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）2 ^n-1  ①
2S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2 ^n-1    ②
①-②得
-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+(4(2n−1−1))/(2−1)-（2n-1）2ⁿ
=-3-（2n-3）2ⁿ
∴S_n=3+（2n-3）2ⁿ（n≤7）…（10分）
由S₇=1411，S₆=579，知S₁₃=S₇+S₆=1411+579=1990＜2011，S₁₄=2S₇=2×1411=2822＞2011
所以满足S_n＞2011，n的最小值14． …（12分）