（2007•丰台区二模）数列{an}、{bn}满足a3=b3=6，a4=b4=4，a5=b5=3，且{an+1-an}（n∈N*）是等差数列，{bn-2}（n∈N*）是等比数列．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（II）n取何值时，an-bn取到最小正

Question

（2007•丰台区二模）数列{a_n}、{b_n}满足a₃=b₃=6，a₄=b₄=4，a₅=b₅=3，且{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差数列，{b_n-2}（n∈N^*）是等比数列．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）n取何值时，a_n-b_n取到最小正值？试证明你的结论．

Answer 1

（I）设c_n=a_n+1-a_n，数列{a_n+1-a_n}的公差为d，
则c₃=a₄-a₃=-2，c₄=a₅-a₄=-1，
∴d=c₄-c₃=1，
∴c_n=c₃+（n-3）=n-5，
∴a_n+1-a_n=n-5
∴（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₅-a₄）+（a₄-a₃）=（n-6）+（n-7）+…+（-1）+（-2），
∴an-a3=((n-3)(n-8))/(2)，
∴an=(1)/(2)n2-(11)/(2)n+18(n∈N*)；（4分）
设d_n=b_n-2，数列{b_n-2}的公比是q，则d₃=b₃-2=4，d₄=b₄-2=2，
∴q=(d4)/(d3)=(1)/(2)，
∴dn=d3qn-3=4•((1)/(2))n-3=25-n，
∴b_n=2+2^5-n（n∈N^*）（7分）．
（II）a₁-b₁=-5，a₂-b₂=-1，a₃-b₃=a₄-b₄=a₅-b₅=0，
a6-b6=(1)/(2)，a7-b7=(7)/(4)＞(1)/(2)，
猜想：n=6时，a₆-b₆取到最小正值．（9分）
下面用数学归纳法给以证明：
（1）当n=7时，a7-b7=(7)/(4)＞(1)/(2)；
（2）假设n=k（k≥7，k∈N^*）时，ak-bk＞(1)/(2)，
当n=k+1时，ak+1=(1)/(2)(k+1)2-(11)/(2)(k+1)+18=((1)/(2)k2-(11)/(2)k+18)+k-5
=ak+k-5＞bk+(1)/(2)+k-5＞bk+1+(1)/(2)+k-5，
又∵k≥7，∴ak+1＞bK+1+(1)/(2)，
即ak+1-bK+1＞

作业帮用户 2016-12-02 举报

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问题解析

（1）利用已知，可求出{a_n+1-a_n}的第三项与公差，{b_n-2}的第三项与公比，代入等差和等比数列的通项公式，即可求出a_n+1-a_n与b_n-2的表达式，再利用叠加法转化为等差数列求和，从而求出a_n与b_n；
（2）利用数学归纳法或函数单调性求a_n的最小值．

名师点评

本题考点：

等差数列的性质；数列的函数特性；等比数列的性质；数列递推式．

考点点评：

本题主要考查了函数，等差和等比数列的通项公式等知识，同时考查了分析，推理的能力及运算能力，解题过程中充分运用了叠加法，数学归纳法．

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