在数列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-kan（k≠0）对任意n∈N*成立，令bn=an+1-an，且{bn}是等比数列．（1）求实数k的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）求和：Sn=b1+2b2+3b3+…nbn．

Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）对任意n∈N^*成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比数列．
（1）求实数k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求和：S_n=b₁+2b₂+3b₃+…nb_n．

Answer 1

（1）∵a₁=1，a₂=3，
a₃=3×3-k×1=9-k，
a₄=3×（9-k）-k×3=27-6k，
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b₁=3-1=2，b₂=6-k，b₃=18-5k，
∵{b_n}成等比数列，
∴b22=b₁•b₃，
∴（6-k）²=2×（18-5k），
解得k=2或k=0（舍）
当k=2时，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴(bn+1)/(bn)＝2，∴k=2时满足条件．
（2）∵b₁=2，{b_n}成等比数列，(bn+1)/(bn)＝2，∴b_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a3−a2＝22，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a_n-a₁=1+2+2²+2³+…+2^n-1
=(1−2n)/(1−2)=2ⁿ-1，
∴a_n=2ⁿ．
（3）S_n=b₁+2b₂+3b₃+…nb_n
=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=(2(1−2n))/(1−2)-n×2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴Sn＝(n−1)×2n+1+2．