若数列{an}满足an+12-an2=d，其中d为常数，则称数列{an}为等方差数列．已知等方差数列{an}满足an＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{an}的通项公式．（2）求数列{a2n(12)n}的前n项和．（3）记bn=nan2，则当

Question

若数列{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d，其中d为常数，则称数列{a_n}为等方差数列．已知等方差数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，a₅=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{

a

2 n

((1)/(2))n}的前n项和．
（3）记b_n=na_n²，则当实数k大于4时，不等式kb_n大于n（4-k）+4能否对于一切的n∈N^*恒成立？请说明理由．

Answer 1

（1）由a₁=1，a₅=3得，
a₅²-a₁²=4d，
∴d=2．（2分）
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1
∵a_n＞0，
∴a_n=√(2n−1)，
数列{a_n}的通项公式为a_n=√(2n−1)；（4分）
（2）

a

2 n

((1)/(2))n=（2n-1）(1)/(2n)，
设S_n=1•(1)/(2)+3•(1)/(22)+5•(1)/(23)+…+（2n-1）•(1)/(2n)①（5分）
(1)/(2)S_n=1•(1)/(22)+3•(1)/(23)+5•(1)/(24)+…+（2n-1）•(1)/(2n+1)②（6分）
①-②，得
∴(1)/(2)S_n=(1)/(2)+2（(1)/(22)+(1)/(23)+…+(1)/(2作业帮用户2017-10-07举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{an}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：an+12-an2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式．（2）由（1）的结论我们易给出{a2n((1)/(2))n}的通项公式，然后利用错位相消法，即可求出数列{a2n((1)/(2))n}的前n项和．（3）要证明当实数k大于4时，不等式kbn大于n（4-k）+4对于一切的n∈N*恒成立，我们有两种思路：一是由bn=nan2，给出数列bn的通项公式，然后构造函数g（n）=kn2-2n-2，通过证明函数g（n）=kn2-2n-2的单调性进行证明；二是转化为证明k＞(2)/(n)+(2)/(n2)，即k大于(2)/(n)+(2)/(n2)的最大值恒成立．名师点评本题考点：函数恒成立问题；数列的概念及简单表示法；数列的求和．考点点评：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积组成，则求此数列的前n项和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子错位相减法，要注意对字母的讨论．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)