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已知a，b是不相等的正实数，求证：a3+b3＞a2b+ab2已知a，b是不相等的正实数，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
题目详情
已知a，b是不相等的正实数，求证：a3+b3＞a2b+ab2
已知a，b是不相等的正实数，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
已知a，b是不相等的正实数，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
▼优质解答
答案和解析
证明：法一：（分析法）a3+b3＞a2b+ab2 成立，
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
只需证（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）成立．
又因为a＞0，故只需证a2-ab+b2＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）2＞0显然成立，由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，∴a-b≠0，∴a2-2ab+b2＞0，∴a2-ab+b2＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b）
∴a3+b3＞a2b+ab2 成立．
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