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已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．
题目详情
已知a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0．
▼优质解答
答案和解析
•假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．
不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．
如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因为a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
综上所述，a＞0．
同理可证b＞0，c＞0．
所以原命题成立．
不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．
如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．
如果a＜0，那么由abc＞0可得
bc＜0．
又因为a+b+c＞0，所以b+c＞-a＞0．
于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，
这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．
因此，a＜0也不可能．
综上所述，a＞0．
同理可证b＞0，c＞0．
所以原命题成立．
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