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已知公差为d的等差数列{an}满足d≠0且a2是a1、a4的等比中项,记bn=a2n(n∈N*).(Ⅰ)若b2+4是b1+1,b3+3的等差中项,求公差为d的值;(Ⅱ)当d>0,对任意的正整数n均有1b1+1b2+…+1bn<2<a1+a
题目详情
已知公差为d的等差数列{an}满足d≠0且a2是a1、a4的等比中项,记bn=a2n(n∈N*).
(Ⅰ)若b2+4是b1+1,b3+3的等差中项,求公差为d的值;
(Ⅱ)当d>0,对任意的正整数n均有
+
+…+
<2<
,求公差d的取值范围.
(Ⅰ)若b2+4是b1+1,b3+3的等差中项,求公差为d的值;
(Ⅱ)当d>0,对任意的正整数n均有
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
a1+a3+…+a2n-1 |
2n-1 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵a2是a1、a4的等比中项,
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),
∴a1=d,
∴an=nd,∴bn=2nd,
∵b2+4是b1+1,b3+3的等差中项,
∴2(b2+4)=(b1+1)+(b3+3),
∴2(4d+4)=2d+1+8d+3,
∴d=2;
(Ⅱ)
+
+…+
=
(
+
+…+
)<2,
∴d>
(1-
),
∴d≥
;
=
d=
d>2,
∴d>2(
-
),
∴d>2,
综上,d>2.
∴(a1+d)2=a1(a1+3d),
∴a1=d,
∴an=nd,∴bn=2nd,
∵b2+4是b1+1,b3+3的等差中项,
∴2(b2+4)=(b1+1)+(b3+3),
∴2(4d+4)=2d+1+8d+3,
∴d=2;
(Ⅱ)
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
1 |
d |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
∴d>
1 |
2 |
1 |
2n |
∴d≥
1 |
2 |
a1+a3+…+a2n-1 |
2n-1 |
1+3+…+2n-1 |
2n-1 |
n2 |
2n-1 |
∴d>2(
2 |
n |
1 |
n2 |
∴d>2,
综上,d>2.
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