已知公差为d的等差数列{an}满足d≠0且a2是a1、a4的等比中项，记bn=a2n（n∈N*）．（Ⅰ）若b2+4是b1+1，b3+3的等差中项，求公差为d的值；（Ⅱ）当d>0，对任意的正整数n均有1b1+1b2+…+1bn<2<a1+a

Question

已知公差为d的等差数列{a_n}满足d≠0且a₂是a₁、a₄的等比中项，记b_n=a2n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中项，求公差为d的值；
（Ⅱ）当d>0，对任意的正整数n均有(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)<2<(a1+a3+…+a2n-1)/(2n-1)，求公差d的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₂是a₁、a₄的等比中项，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
∴a₁=d，
∴a_n=nd，∴b_n=2ⁿd，
∵b₂+4是b₁+1，b₃+3的等差中项，
∴2（b₂+4）=（b₁+1）+（b₃+3），
∴2（4d+4）=2d+1+8d+3，
∴d=2；
（Ⅱ）(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)=(1)/(d)（(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n)）<2，
∴d>(1)/(2)（1-(1)/(2n)），
∴d≥(1)/(2)；
(a1+a3+…+a2n-1)/(2n-1)=(1+3+…+2n-1)/(2n-1)d=(n2)/(2n-1)d>2，
∴d>2（(2)/(n)-(1)/(n2)），
∴d>2，
综上，d>2．