已知bn+1=bn^2-(n-2)bn+3,bn≥n(n∈正整数),求证:Tn=1/(3+b1)+1/(3+b2）+……+1/(3+bn)

Question

已知bn+1=bn^2-(n-2)bn+3,bn≥n(n∈正整数),求证:Tn=1/(3+b1)+1/(3+b2）+……+1/(3+bn)

Answer 1

1/[b(n+1)+3]=1/[bn^2-(n-2)bn+6]
bn^2-(n-2)bn+6=bn(bn+2-n)+6≥2bn+6=2(bn+3),(∵bn≥n)
1/[b(n+1)+3]≤1/[2(bn+3)]
由此构造了一个类似等比关系的数列{1/(bn+3)}（只不过把等号换为不等号,“公比”为1/2）
Tn≤[1/(3+b1)-(1/2)^(n+1)]/(1-1/2)＜2/(3+b1)
又∵b1≤1∴Tn＜1/2