早教吧作业答案频道 -->数学-->
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,AA1⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=B1F=2FB.(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.
题目详情
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,AA1⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=B1F=2FB.

(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;
(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.

(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;
(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)取AC中点M,连接BM,则BM⊥AC,因为AA1⊥底面ABC,
所以侧面ACC1A1⊥底面ABC,所以BM⊥平面ACC1A1.
取AE中点N,连接MN,FN,则MN∥EC,且MN=
EC,
又因为BB1∥CC1,EC=2FB,所以FB∥EC且FB=
EC,
所以MN∥FB且MN=FB,所以四边形BMNF是平行四边形,
所以FN∥BM,所以FN⊥平面ACC1A1.又FN⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ACC1A1. …(6分)
(2)由(1)可知,FN⊥平面ACE,连接MF,由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF,
因为AA1=3,依题意得MF=
=2,所以S△ACF=
×2×2=2,
设点E到平面ACF的距离为h,由VE-ACF=VF-ACE,得
S△ACF•h=
S△ACE•FN,
即2h=
×2×2×
,所以h=
故点E到平面ACF的距离为
. …(12分)

所以侧面ACC1A1⊥底面ABC,所以BM⊥平面ACC1A1.
取AE中点N,连接MN,FN,则MN∥EC,且MN=
1 |
2 |
又因为BB1∥CC1,EC=2FB,所以FB∥EC且FB=
1 |
2 |
所以MN∥FB且MN=FB,所以四边形BMNF是平行四边形,
所以FN∥BM,所以FN⊥平面ACC1A1.又FN⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ACC1A1. …(6分)
(2)由(1)可知,FN⊥平面ACE,连接MF,由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF,
因为AA1=3,依题意得MF=
(
|
1 |
2 |
设点E到平面ACF的距离为h,由VE-ACF=VF-ACE,得
1 |
3 |
1 |
3 |
即2h=
1 |
2 |
3 |
3 |
故点E到平面ACF的距离为
3 |
看了如图,三棱柱ABC-A1B1C...的网友还看了以下:
半径为1的球面上有A、B、C三点,其中点A与B、C两点间的球面距离均为π2,B、C两点间的球面距离 2020-05-15 …
立体几何球A,B,C是半径为1的球面上三点,B,C两点间的球面距离是π/3,点A与B,C两点间的球 2020-06-14 …
树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,(a>b,即A比B高),在离地面c米的C处看此树,离此树 2020-06-28 …
机械加工中,下面的公差怎么定义?一段总长度为3.368±0.005inch的铝材,两端分别定为A面 2020-07-30 …
球面上有三个点A、B、C.A和B,A和C间的球面距离等于大圆周长的.B和C间的球面距离等于大圆周长 2020-07-31 …
点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点A(1,0),圆C:x2+2x+ 2020-07-31 …
设球O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A与B、A与C的球面距离为πR2,B与C的球面距离为πR 2020-07-31 …
(6)设球O的半径是1,A、B、C是球面上三点,已知A到B、C两点的球面距离都是,且三面角B-OA 2020-08-02 …
设球O的半径是1,A、B、C是球面上三点,已知A到B、C两点的球面距离都是π2,且二面角B-OA- 2020-08-02 …
A、B、C是半径为1的球面上三点,B、C间的球面距离为π3,点A与B、C两点间的球面距离均为π2, 2020-08-02 …