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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,AA1⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=B1F=2FB.(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的等边三角形,AA1⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=B1F=2FB.

(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;
(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.

(1)证明:平面AEF⊥平面ACC1A1;
(2)若AA1=3,求点E到平面ACF的距离.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)取AC中点M,连接BM,则BM⊥AC,因为AA1⊥底面ABC,
所以侧面ACC1A1⊥底面ABC,所以BM⊥平面ACC1A1.
取AE中点N,连接MN,FN,则MN∥EC,且MN=
EC,
又因为BB1∥CC1,EC=2FB,所以FB∥EC且FB=
EC,
所以MN∥FB且MN=FB,所以四边形BMNF是平行四边形,
所以FN∥BM,所以FN⊥平面ACC1A1.又FN⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ACC1A1. …(6分)
(2)由(1)可知,FN⊥平面ACE,连接MF,由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF,
因为AA1=3,依题意得MF=
=2,所以S△ACF=
×2×2=2,
设点E到平面ACF的距离为h,由VE-ACF=VF-ACE,得
S△ACF•h=
S△ACE•FN,
即2h=
×2×2×
,所以h=
故点E到平面ACF的距离为
. …(12分)

所以侧面ACC1A1⊥底面ABC,所以BM⊥平面ACC1A1.
取AE中点N,连接MN,FN,则MN∥EC,且MN=
1 |
2 |
又因为BB1∥CC1,EC=2FB,所以FB∥EC且FB=
1 |
2 |
所以MN∥FB且MN=FB,所以四边形BMNF是平行四边形,
所以FN∥BM,所以FN⊥平面ACC1A1.又FN⊂平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ACC1A1. …(6分)
(2)由(1)可知,FN⊥平面ACE,连接MF,由AC⊥平面BMNF得AC⊥MF,
因为AA1=3,依题意得MF=
(
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设点E到平面ACF的距离为h,由VE-ACF=VF-ACE,得
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1 |
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即2h=
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故点E到平面ACF的距离为
3 |
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