已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图所示．（1）求证：平面EAC⊥平面PBD；（2）若∠BAD=60°，当四棱锥的体积被平面EAC分成

Question

已知四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，E为PB上任意一点，O为菱形对角线的交点，如图所示．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若∠BAD=60°，当四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分时，若二面角B-AE-C的大小为45°，求PD：AD的值．

Answer 1

（1）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．
又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（2）连接OE，
∵四棱锥的体积被平面EAC分成3：1两部分，∴V_E-ABC=(1)/(4)V_P-ABCD，
∵△ABC的面积等于菱形ABCD面积的一半，
∴E到平面ABCD的距离等于P到平面ABCD距离的(1)/(2)，可得E为PB的中点．
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B-AE-C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=(1)/(2)a，OA=(√(3))/(2)a，
在Rt△BOF中，tan∠BFO=(OB)/(OF)=((1)/(2)a)/(OD)=1，可得OF=(1)/(2)a
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE
即(√(3))/(2)a•OE=(1)/(2)a•√((3)/(4)a2+OE2)，解之得OE=(√(6))/(4)a
∴PD=2OE=(√(6))/(2)a，可得PD：AD=√(6)：2，即PD：AD的值为(√(6))/(2)．