已知直线ln：yn=-[(n+1)/n]x+1/n(n是不为零的自然数）.当n=1时,直线l1:y1=-2x+1和x轴和y轴分别交于点A1和B1,设△A1OB1的面积为S1；当n=2时,直线l2:y2=-3/2+1/2和x轴y轴交于A2,B2,设△A2OB2的面积是S2······,

Question

已知直线ln：yn=-[(n+1)/n]x+1/n(n是不为零的自然数）.当n=1时,直线l1:y1=-2x+1和x轴和y轴分别交于点
A1和B1,设△A1OB1的面积为S1；当n=2时,直线l2:y2=-3/2+1/2和x轴y轴交于A2,B2,设△A2OB2的面积是S2······,依此类推,直线ln和x轴y轴分别交于An,Bn,设△AnOBn的面积为Sn.
（1）求△A1OB1的面积S1
（2）求S1+S2+S3+...+S6的面积

Answer 1

（1）由y1=-2x+1得A1(1/2,1),∴ S1=1/2×1/2×1=1/4
（2）由yn=-[(n+1)/n]x+1/n 知,当n=2时,直线为y2=-3/2x+1/2,
∴A2(1/3,1/2),S2=1/2×1/3×1/2
当n=3时,直线为y3=-4/3x+1/3,A3(1/4,1/3),S3=1/2×1/4×1/3
………………
Sn=1/2×1/n×1/(n+1)= 1/2[1/n－1/(n+1)]
∴ S1＋S2＋S3＋…＋Sn=1/2[1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋1/4－1/5＋…＋1/n－1/(n+1)]
=1/2[1－1/(n+1)]
∴S1+S2+S3+...+S6=1/2[1－1/7]=3/7