已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+12b2+13b3+…+1bn=bn+1-1（n∈N*）．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．

Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，b₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），b₁+(1)/(2)b₂+(1)/(3)b₃+…+(1)/(bn)=b_n+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得：an=2n；
由b₁=1，b₁+(1)/(2)b₂+(1)/(3)b₃+…+(1)/(bn)=b_n+1-1知，
当n=1时，b₁=b₂-1，故b₂=2．
当n≥2时，(1)/(n)bn=bn+1-bn，整理得：(bn+1)/(bn)=(n+1)/(n)，
∴(b2)/(b1)=(2)/(1)，(b3)/(b2)=(3)/(2)，…，(bn)/(bn-1)=(n)/(n-1)（n≥2）．
累积可得：b_n=n，
验证b₁=1成立，
∴b_n=n；
（Ⅱ）由（1）知，anbn=n•2n，
∴数列{a_nb_n}的前n项和为T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，
作差可得：-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=(2(1-2n))/(1-2)-n×2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)×2n+1+2．