已知A（2,2）B（4,1）O为坐标原点,P为x轴上的一动点,当向量APx向量BP取最小值是,求向量PA与PB的夹角的余弦值亲们我会追分的

Question

已知A（2,2）B（4,1） O为坐标原点,P为x轴上的一动点,当向量APx向量BP取最小值是,求向量PA与PB的夹角的余弦值
亲们
我会追分的

Answer 1

可设点P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),∴AP×BP=(x-2,-2)×(x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2=(x-3)²+1≥1.等号仅当x=3时取得.∴(AP×BP)min=1.此时P(3,0),∴此时向量AP=(1,-2),BP=(-1,-1).∴|AP|=√5,|BP|=√2.AP×BP=1.∴cosa=(AP×BP)/(|AP|×|BP|)=1/√10=(√10)/10.∴余弦值=（√10)/10.