已知等差数列{an}的公差d＜0，若a3a7=21，a1+a9=10，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是．

Question

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₃a₇=21，a₁+a₉=10，则使前n项和S_n＞0成立的最大正整数n是______．

Answer 1

∵数列{a_n}为等差数列，公差d＜0，a₃a₇=21，a₁+a₉=10，
∴a₃+a₇=a₁+a₉=10，
可得

a3+a7＝10

a3a7＝21

d＜0⇒a3＞a7

得：

a3＝7

a7＝3

，
∴d＝(a7−a3)/(4)＝−1，a₁=9，
∴Sn＝na1+(n(n−1))/(2)d＝(−n2+19n)/(2)，
由Sn＝(−n2+19n)/(2)＞0，得到-n²+19n=-n（n-19）＞0，即n（n-19）＜0，
解得：0＜n＜19，
则使S_n＞0成立的最大正整数n是18．
故答案为：18