已知A=2−125a3−1b−2的一个特征向量ξ=（1，1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．

Question

已知A=

2   −1     2

5    a      3

−1   b     −2

的一个特征向量ξ=（1，1，-1）^T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．

Answer 1

由题意，设λ是ξ对应的特征向量，则Aξ=λξ
即

2   −1     2

5    a      3

−1   b     −2

1

1

−1

=λ

1

1

−1

∴

λ＝−1

2+a＝λ

1+b＝−λ

∴a=-3，b=0，λ=-1
∴λE−A＝

−3	1	−2
−5	2	−3
1	0	1

1	0	1
0	1	1
0	2	2

1	0	1
0	1	1
0	0	0

∴（λE-A）x=0的基础解系只有3-2=1个解向量
而ξ就是（λE-A）x=0的解向量
∴ξ就为（λE-A）x=0的基础解系
即λ=-1的全部特征向量为kξ（k为任意常数）．