已知各项都为正数的等比数列{an}满足12a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2=a3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn=log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{1+2SnSn}的前n项和Tn．

Question

已知各项都为正数的等比数列{a_n}满足(1)/(2)a₃是3a₁与2a₂的等差中项，且a₁a₂=a₃．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）设b_n=log₃a_n，且S_n为数列{b_n}的前n项和，求数列{(1+2Sn)/(Sn)}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）设等比数列的公比为q，由题意知q>0，且3a₁+2a₂=a₃，a₁a₂=a₃．
∴

3a1+2a1q=a1q2

a12q=a1q2

解得a₁=q=3，故a_n=3ⁿ，
（Ⅱ）b_n=log₃a_n=n，
∴Sn=(n(n+1))/(2)，
∴(1+2Sn)/(Sn)=(2)/(n(n+1))+2=2（(1)/(n)-(1)/(n+1)）+2，
故数列{(1+2Sn)/(Sn)}的前n项和为T_n=2[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(n)-(1)/(n+1)）]+2n=2（1-(1)/(n+1)）+2n=(2n2+4n)/(n+1)