在数列{an}中，an>0，a1=12，如果an+1是1与2anan+1+14-an2的等比中项，那么a1+a222+a332+a442+…+

Question

在数列{a_n}中，a_n>0，a₁= (1)/(2)，如果a_n+1是1与 (2anan+1+1)/(4-an2)的等比中项，那么a₁+ (a2)/(22)+ (a3)/(32)+ (a4)/(42)+…+ (a2016)/(20162)的值___．

Answer 1

∵a_n+1是1与(2anan+1+1)/(4-an2)的等比中项，
∴

a

2 n+1

=(2anan+1+1)/(4-an2)，a_n>0，
化为：a_n+1a_n+1=2a_n+1，
∴n=2时，(1)/(2)a2+1=2a₂，解得a₂=(2)/(3)，
∴n=3时，(2)/(3)a₃+1=2a₃，a₃=(3)/(4)，…，
猜想a_n=(n)/(n+1)，代入：a_n+1a_n+1=2a_n+1成立．
∴a_n=(n)/(n+1)，∴(an)/(n2)=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)，
∴a₁+(a2)/(22)+(a3)/(32)+(a4)/(42)+…+(a2016)/(20162)=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(2016)-(1)/(2017))=1-(1)/(2017)=(2016)/(2017)．
故答案为：

作业帮用户 2018-01-06 举报

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