已知△A1B1C1的三个内角的余弦值与△A2B2C2的三个内角的正弦值分别对应相等，试判断△A1B1C1和△A2B2C2的形状，并给出证明．

Question

已知△A₁B₁C₁的三个内角的余弦值与△A₂B₂C₂的三个内角的正弦值分别对应相等，试判断△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的形状，并给出证明．

Answer 1

△A₁B₁C₁是锐角三角形△A₂B₂C₂是钝角三角形．
证明：由题意可知：

cosA1＝sinA2＞0

cosB1＝sinB2＞0

cosC1＝sinC2＞0

，
可证得A₁，B₁，C₁均为锐角，
∴△A₁B₁C₁为锐角三角形-----------------------4’
∵A1，B1，C1∈(0，(π)/(2))，
∴cosA₁，cosB₁，cosC₁∈（0，1）
∴sinA₂，sinB₂，sinC₂∈（0，1）
∴A2，B2，C2≠(π)/(2)∴△A₂B₂C₂不可能是直角三角形-----------------6’
假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，
则cosA1＝sinA2＝cos((π)/(2)−A2)，cosB1＝sinB2＝cos((π)/(2)−B2)cosC1＝sinC2＝cos((π)/(2)−C2)
∵A₂，B₂，C₂均为锐角，∴(π)/(2)−A2，(π)/(2)−B2，(π)/(2)−C2也为锐角
又∵A₁，B₁，C₁均为锐角，∴A1＝(π)/(2)−A2，B1＝(π)/(2)−B2，C1＝(π)/(2)−C2
三式相加得π＝(π)/(2)，显然不成立
∴假设不成立，△A₂B₂C₂不是锐角三角形
综上，△A₂B₂C₂是钝角三角形．--------------------------12’