如图，直线ll：y=2x与直线l2：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w1，右半部分记为W2．（1）分别用不等式组表示w1和w2：（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之

Question

如图，直线l_l：y=2x与直线l₂：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w₁，右半部分记为W₂．
（1）分别用不等式组表示w₁和w₂：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于M_l，M₂两点，且与l_l，l₂如分别交于M₃，M₄两点．求证△OM_lM₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（x_l，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则△ABC的重心坐标为（(x1+x2+x3)/(3)，(y1+y2+y3)/(3)）】

Answer 1

（1）由图象可知W1：

y＜2x

y＞−2x

，W2：

y＞2x

y＜−2x

．
（2）由题意知，(|2x−y |)/(√(5))×(|2x+y|)/(√(5))=4得|(x2)/(5)−(y2)/(20)|=1，又P在W内，故有(x2)/(5)−(y2)/(20)＝1．
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠O）．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且ll₁与l₂关于x轴对称，于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为（(2a)/(3)，0），即它们的重心重合．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠O），
由

4x2−y2＝20

y＝mx+n

，得（4-m²）x²-2mnx-n²-20=0，
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知4-m²≠0，且
△=（2mn）²+4（4-m²）（n²+20）＞0…（1分）
设M₁，M₂的坐标分别为（x_l，y₁），（x₂，y₂）．
则x_l+x₂=(2mn)/(4−m2)，y₁+y₂═m （x_l+x₂）+2n
设M₃，M₄的坐标分别为（x₃，x₄），（x₄，y₄）．
由

y＝2x

y＝mx+n

与

y＝−2x

y＝mx+n

，得x₃=(n)/(2−m)，x₃=(n)/(2+m)
从而x₃+x₄=(2mn)/(4−m2)=x₁+x₂
所以y₃+y₄=m （x₃+x₄）+2n=m （x₁+x₂）+2n=y₁+y₂
所以(0+x1+x2)/(3)=(0+x3+x4)/(3)，(0+y1+y2)/(3)=(0+y3+y4)/(3)
于是AOM₁ M₂的重心与△OM₃M₄的重心也重合．