设直线l与直线x-y-5=0之间的距离是32，且直线l不过第四象限．（1）求直线l的方程；（2）若x、y满足直线l的方程，求d=x2+y2+6x−10y+34+x2+y2−4x−30y+229的最小值．

Question

设直线l与直线x-y-5=0之间的距离是3√(2)，且直线l不过第四象限．
（1）求直线l的方程；
（2）若x、y满足直线l的方程，求d=√(x2+y2+6x−10y+34)+√(x2+y2−4x−30y+229)的最小值．

Answer 1

（1）由已知，可设直线l的方程为x-y+c=0
∵直线l与直线x-y-5=0之间的距离是3√(2)
∴(|c+5|)/(√(2))=3√(2)
∴|c+5|=6
∴c=1或-11
∵直线l不过第四象限
∴c=1
∴直线l的方程为x-y+1=0；
（2）d=√(x2+y2+6x-10y+34)+√(x2+y2-4x-30y+229)
=√((x+3)2+(y-5)2)+√((x-2)2+(y-15)2)
可看作是直线x-y+1=0上的动点P（x，y）到定点A（-3，5）和B（2，15）的距离之和，
由于定点A（-3，5）和B（2，15）在直线x-y+1=0的同侧，可求A（-3，5）关于直线x-y+1=0对称的点A′，利用两边之和大于第三边，可知|A^′B|最小
求得A（-3，5）关于直线x-y+1=0对称的点A′（4，-2），则 dmin=|A′B|=√(293)