已知椭圆Cx2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线通过点(0，−12)，证明：2k2+1=2m；（3）在（2

Question

已知椭圆C(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为(√(2))/(2)．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线通过点(0，−(1)/(2))，证明：2k²+1=2m；
（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

（1）设椭圆C的标准方程(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）
由已知可得

e＝(c)/(a)＝(√(2))/(2)

2b＝2

a2＝b2+c2

解得a²=2，b²=1．
故椭圆C的标准方程(x2)/(2)+y2=1．…4分
（2）联立方程

y＝kx+m

(x2)/(2)+y2＝1

，消y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
当△=8（2k²-m²+1）＞0，即2k²+1＞m²①时，x₁+x₂=(−4km)/(1+2k2)，x₁•x₂=(2m2−2)/(1+2k2)．
所以(x1+x2)/(2)＝(−2km)/(1+2k2)，(y1+y2)/(2)＝(m)/(1+2k2)．
又((y1+y2)/(2)−(−(1)/(2)))/((x1+x2)/(2)−0)＝−(1)/(k)，化简整理得：2k²+1=2m②．…9分
（3）代②入①得：0＜m＜2．
又原点O到直线AB的距离为d=(|m|)/(√(1+k2))．|AB|=√(1+k2)|x1−x2|＝2√(1+k2)(√(4k2−2m2+2))/(1+2k2)．
所以S_△AOB=(1)/(2)|AB|•d＝(|m|√(4k2−2m2+2))/(1+2k2)．
而2k²+1=2m且0＜m＜2，则S_△AOB=(1)/(2)√(4m−2m2)，0＜m＜2．
所以当m=1，即k²=(1)/(2)时，S_△AOB取得最大值(√(2))/(2)．…13分