已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）椭

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与椭圆C交于M、N两点，k_AM、k_AN分别为直线AM、AN的斜率，k_AM•k_AN=-(3)/(4)，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
（3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

（1）由于短轴的顶点与右焦点的距离为a，
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则a=2b，
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切，
则d=(|0+4b+6|)/(√(32+42))=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
则椭圆方程为：(x2)/(4)+y2＝1；
（2）证明：设直线MN的方程为y=kx+t，M、N坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

y＝kx+t

x2+4y2＝4

⇒（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
判别式为64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，
∴x₁+x₂=-(8kt)/(1+4k2)，x₁x₂=(4t2−4)/(1+4k2)，
∵k_AM=(y1)/(x1+2)，k_AN=(y2)/(x2+2)，
∴k_AM•k_AN=((kx1+t)(kx2+t))/((x1+2)(x2+2))=(k2x1x2+kt(x1+x2)+t2)/(x1x2+2(x1+x2)+4)=-(3)/(4)，
将韦达定理代入，并整理得(t2−4k2)/(4t2−16kt+16k2)=-(3)/(4)，化简得，t²-3kt+2k²=0，
即有t=k或t=2k，则直线MN的方程为y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），则直线MN恒过定点Q（-1，0）；
（3）△AMN面积为S=(1)/(2)|AQ|•|y₁-y₂|，
设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，得到（4+m²）y²-2my-3=0，
则y₁+y₂=(2m)/(4+m2)，y₁y₂=(−3)/(4+m2)，
则S=(1)/(2)√((y1+y2)2−4y1y2)=(1)/(2)√(((2m)/(4+m2))2+(12)/(4+m2))=(2√(3+m2))/(4+m2)=(2)/(√(3+m2)+(1)/(√(3+m2)))
令√(3+m2)=u（u≥√(3)），则u+(1)/(u)在[√(3)，+∞）递增，当u=√(3)，即有m=0，
则u+(1)/(u)取最小值(4√(3))/(3)，此时S取得最大值2×(3)/(4√(3))=(√(3))/(2)．