已知圆C：x2+y2=9，点A（-5，0），在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Question

已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有(PB)/(PA)为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

假设存在这样的点B（t，0），使得(PB)/(PA)为常数λ，则PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，将y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0对x∈[-3，3]恒成立，
∴

5λ2+t=0

34λ2-t2-9=0

，解得

λ=0.6

t=-1.8

或

λ=1

t=-5

（舍去），
所以存在点B（-1.8，0）对于圆C上任一点P，都有(PB)/(PA)为常数0.6．