解析几何关于面积最值问题在平面直角坐标系xOy中,过定点C（o,p）作直线与抛物线x^2=2py(p>0)相交于A,B两点,若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求三角形ANB面积的最小值.

Question

解析几何关于面积最值问题
在平面直角坐标系xOy中,过定点C（o,p）作直线与抛物线x^2=2py(p>0)相交于A,B两点,若点N是点C关于坐标原点O的对称点,求三角形ANB面积的最小值.

Answer 1

给你说下思路吧,要求三角行ANB的面积最值,首先要求出该三角形面积的表达式,我们最先想到的当然是（底边^高/2）,这里的底边很明显应该是AB边,而点N到直线AB的距离即为高,所以,首先设过点C的直线方程为y=kx+b,将C点坐标带入可以解出b=p,然后求出点N的的坐标,显然,N点坐标为（0.-p）.由点到直线的距离公式很容易可以算出点N到直线AB的距离,该距离表达式由参数k和p所表示,2p/根号下（k^2+1）,记下来要计算的是线段AB的长度,由两点间的距离公式可知,设A,B点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,所以AB间的距离即可表示为根号下｛（x2-x1）^2+(y2-y1)^2｝=根号下｛（x2+x1）^2+(y2+y1)^2-4x1*x2-4y1*y2｝,很明显,只要知道直线AB和抛物线方程联立后化为关于x和关于y的一元二次方程的两根之和与两根之积就可表示出AB间距离.经过简单的带入运算,可得出线段AB长度的表达式,进而可表达出三角形ANB的面积,必定是关于参数K的表达式,然后运用导数的性质或者求极值的方法即可算出.