已知抛物线C：y^2=2px(p＞0)过点A（1,-2）（1）求抛物线C的方程,并求其准线方程（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA于L的距离等于根号5/5?若存

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已知抛物线C：y^2=2px(p＞0)
过点A（1,-2）
（1）求抛物线C的方程,并求其准线方程
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA于L的距离等于根号5/5?若存在,求直线L的方程,若不存在,说明理由.

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答案和解析

A（1,-2）代入得：4=2p,p=2,故抛物线方程为：y^2=4x
准线方程为：x=-p/2=-1
OA与X轴的夹角为a,则tana=2/1=2,sina=2√5/5
设L与X轴的交点为（X,0）,则|X|*sina=√5/5,
X=1/2或-1/2
OA的斜率k=-2/1=-2
故L的方程为：y=-2（x-1/2)或y=-2（x+1/2）
当y=-2（x+1/2）时,[-2（x+1/2）]^2=4x,4x^2+4x+1=4x,4x^2+1=0无解
故L的方程为：y=-2（x-1/2)

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