f（x）∈C（0，+∞），f（1）=3，当x，y＞0，∫xy1f（t）dt=x∫y1f（t）dt+y∫x1f（t）dt，求f（x）．

Question

f（x）∈C（0，+∞），f（1）=3，当x，y＞0，

∫

xy 1

f（t）dt=x

∫

y 1

f（t）dt+y

∫

x 1

f（t）dt，求f（x）．

Answer 1

对

∫

xy 1

f（t）dt=x

∫

y 1

f（t）dt+y

∫

x 1

f（t）dt求全微分可得：
f(xy)d(xy)＝xf(y)dy+

∫

y 1

f(t)dtdx+

∫

x 1

f(t)dtdy+yf(x)dx
f(xy)(xdy+ydx)＝xf(y)dy+

∫

y 1

f(t)dtdx+

∫

x 1

f(t)dtdy+yf(x)dx
yf(xy)dx+xf(xy)dy＝[

∫

y 1

f(t)dt+yf(x)]dx+[xf(y)+

∫

x 1

f(t)dt]dy
所以，

yf(xy)＝

∫

y 1

f(t)dt+yf(x)

xf(xy)＝xf(y)+

∫

x 1

f(t)dt

由上述两式可知，x，y对称
所以，令y=1，可得：xf(x)＝xf(1)+

∫

x 1

f(t)dt
对上式再求导：f（x）+xf'（x）=f（1）+f（x）=3+f（x）
所以，xf'（x）=3
f′(x)＝(3)/(x)
积分可得：f（x）=3lnx+C，C为任意常数
代入f（1）=3，可得：C=3
所以，f（x）=3+3lnx．