已知函数f（x）=ex（x2+ax+a），实数是常数．（1）若a=2，函数y=f（x）的图象上是否存在两条相互垂直的切线，并说明理由．（2）若y=f（x）在[a，+∞）上有零点，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a），实数是常数．
（1）若a=2，函数y=f（x）的图象上是否存在两条相互垂直的切线，并说明理由．
（2）若y=f（x）在[a，+∞）上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）=e^x（x²+2x+2），
导数为f′（x）=e^x（x²+4x+4）=e^x（x+2）²≥0，
对任意的x₁，x₂∈R，均有f′（x₁）f′（x₂）≥0，
故函数y=f（x）的图象上不存在两条相互垂直的切线；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零点，则f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．
由f′（x）=e^x（x+2）（x+a），令f′（x）=0，可得x=-2或-a．
当-a≤-2时，即a≥2时，f′（x）>0对x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤(1)/(2)，不成立；
当-a>-2即a<2时，
①若a≥0，f′（x）>0对x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤(1)/(2)，即为0≤a≤(1)/(2)；
②若a<0，若a≥-2，f′（x）<0对x∈（a，-a）成立，f′（x）>0对x∈[-a，+∞）成立，
则f（x）在（a，-a）递减，在[-a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（-a），且f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，解得-2≤a<0；
若a<-2，-a∈[a，+∞），f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，此时结论成立．
综上可得，a的取值范围是（-∞，(1)/(2)]．