对于n元方程组，下列命题正确的是（）A．如果Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解B．如果Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷解C．如果Ax=b有两个不同解，则Ax=0有无穷多解D．Ax=b有唯一解的充要条件是r

Question

对于n元方程组，下列命题正确的是（　　）

A．如果Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解
B．如果Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷解
C．如果Ax=b有两个不同解，则Ax=0有无穷多解
D．Ax=b有唯一解的充要条件是r（A）=n

Answer 1

AX=0只有零解的充要条件是r（A）=n（A列满秩）．
而r（A）与r（A，b）不一定相同．
故AX=b也有可能无解，
事实上，可以令A=

1	0	0
0	1	0
0	0	1
0	0	1

．b=

1

1

1

2

．
易知AX=0只有零解，而AX=b最后两个方程分别为X₁=1与X₂=2，是互相矛盾的，
易知该线性方程组无解，可知A错误．
类似的，AX=0有非零解的充要条件r（A）＜n，
而r（A）＜n时，r（A）与r（A，b）不一定相同，
故AX=b也有可能无解．
事实上，可令A=

1	2	3
2	4	6

，b=

2

5

．
易知r（A）=1，故AX=0有非零解，
有r（A，b）=2≠r（A）．
故AX=b无解，故B错误．
如果AX=b有两个不同解，可知r（A）＜n，故AX=0有无穷解，故C正确．
由A的分析过程知，选项D是错的．
故选：C．