设A是n阶矩阵，α是n维列向量．若秩AααT0=秩（A），则线性方程组（）A．Ax=α必有无穷多解B．Ax=α必有惟一解C．AααT0xy=0仅有零解D．AααT0xy=0必有非零解

Question

设A是n阶矩阵，α是n维列向量．若秩

A	α
αT	0

=秩（A），则线性方程组（　　）

A．Ax=α必有无穷多解
B．Ax=α必有惟一解
C．

A	α
αT	0

 

x

y

=0仅有零解
D．

A	α
αT	0

 

x

y

=0必有非零解

Answer 1

由已知条件可得，秩

A	α
αT	0

=秩（A）≤n＜n+1．
选项（A）：Ax=α有无穷多解⇔秩[A|α]=秩（A）＜n；但由已知条件不能确定秩（A）＜n，
故（A）不一定正确；
选项（B）：Ax=α有唯一解⇔秩[A|α]=秩（A）=n；但由已知条件不能够确定秩（A）=n，
故（B）不一定正确；
选项（C）：

A	α
αT	0

 

x

y

 =0 仅有零解⇔

A	α
αT	0

 为列满秩的⇔秩

A	α
αT	0

=n+1，但由已知条件，秩

A	α
αT	0

＜n+1，故（C）错误；
选项（D）：

A	α
αT	0

 

x

y

 =0 有非零解⇔秩

A	α
αT	0

＜n+1；正确选项为D．
故选：D．